懸臂梁是工程上常見的......



懸臂梁是工程上常見的一種梁，工程設計中必須考慮其強度及剛度，計算許用應力及最大允許變形。本文就變截面懸臂梁在任意載荷作用下的

彎曲變形的最大正應力及最大變形的計算，提供了一種具有通用性的方法使設計者能比較方便地求解出最大正應力及最大變形。其中，運用了
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以能量為基礎的瑞利-李茲法求撓度，使得變截面梁的撓度可順利求得。并利用計算機輔助計算，使得一些復雜的方程得以快捷解出。
1　基本理論及求解途徑
1.1　最大應力σmax的求法
　　 對懸臂梁設定其坐標如圖1，受任意分布載荷q(x)作用，梁長為L。
　　根據彎矩的定義：
M(x)=-∫1-x0q(x+t)tdt
或者
M(x)=-∫lxq(t)(t-x)dt　　(1)
　　懸臂梁在q(x)作用下，任一點最大正應力為：
σmax(x)=｜M(x)／Wz(x)max｜　　(2)
令　dσ(x)／dx=0可得：
F=f(x)
利用計算機編程解此方程，其流程圖如

　　求出邊界值σ(0),σ(L)。
　　 如果方程無解，則比較σ(0)，σ(L)中較大的為σmax。
　　 如果方程有解，則比較σ(0)，σ(L),σ(Xr)中較大的為σmax。
　　 如果載荷為集中載荷或者分段函數，也可作為特殊的分布載荷，分段處理。
1.2　最大變形fmax的求法
　　 利用瑞利-李茲法
　　 假設fi(x)滿足邊界條件，其撓度方程可表示為：
y(x)=Σaifi(x)　　(i=1……n)　　(3)
則載荷做功為：
W=-∫L0q(x)y(x)dx　　(4)
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彎曲應變能為：
　　(5)
W與U分別對ai求全微分：
dW=A1da1+A2da2+……+Andan
dU=B1da1+B2da2+……Mndan
因　　　　　　　　　　　　　dW=dU　　(6)
則dai前面的系數分別相等，列出方程組，解出每一個ai值，代入(3)式，即可求出懸臂梁在特定載荷下的撓度方程，最大變形fmax即為最大撓

度：
fmax=｜Y(L)｜
2　數值計算
　　假設懸臂梁為等截面梁，受均勻載荷q(x)=w作用如圖3：
　　則彎矩為：
M(x)=-∫L-x0wtdt
=-w(L-x)2／2
任一點正應力為：
σ(x)=｜［w(L-x)2／2］(bh2／6)｜
=3w(L-x)2／(bh2)
顯然當x=0時有應力最大值：
σmax=3wL2／(bh2)
假設其撓度方程為：
y=a0+a1x+a2x2+a3x3
邊界條件為在x=0處yc=y′c=0,因此a0=a1=0,則：
y=a2x2+a3x3
由(4)式：
W=-∫L0wy(x)dx
dW=-(w／3)da2-(w/4)da3
由(5)式：
U=∫L0［EIZ(y″)2／2］dx
dU=2EIzL［(2a2+3La3)da2+3L(a2+2La3)da3］
由(6)式：
-w／3=2EIzL(2a2+3La3)
-w／4=6EIzL2(a2+2La3)
由上式解得：
a2=-5wL2／(24EIz);
a3=wL／(12EIz)　　
代入撓度方程得：
y=-5wL2x2／(24EIz)+wLx3／12EIz)
此懸臂梁最大變形為：
fmax=｜y(L)｜=wL4／(8EIz)
　　假設懸臂梁為變截面梁，任一截面為矩形，如圖4所示，其高度h(x)=m+(n-m)x／L,受載荷q(x)=q0x2／L2作用。
　　 則截面的慣矩為：
　　　 Iz(x)=［h(x)］3b／12
　　　　　 =(b／12)［m3+3m2(n-m)x／L+3m(n-m)2x2／L2+(n-m)3x3／L3］
則截面的抗彎截面模量為：2
Wz（x)=b［h(x)］2／6=b［Lm+(n-m)x］2／(6L2)
彎矩為：
M(x)=-∫L-x0(x+t)2tdt
=-(q0／12L2)(x4-4L3x+3L4)
正應力為：
σ（x)=｜M（x)／Wz（x)｜
=｜q0(x4-4L3x+3L4)／｛2b［Lm+(n-m)x］2｝｜
令dσ(x)／dx=0
并假設L=1m,m=0.1m,n=0.05m可得方程：
x4=4x3+2x+1=0
利用計算機解此方程得：
xr=1,并比較x=0和x=L處的應力值得到：
σmax=σ(0)=15q0／b
　　假設其撓度方程為：
y=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4
邊界條件為在x=0處y=y′=0,因此a0=a1=0,則：
y=a2x2+a3x3+a4x4
由(4)式：
W=-∫L0［q0x2(a2x2+a3x3+a4x4)／L2］dx
dw=-(q0／5L2)da2-(q0／6L2)da3-(q0／7L2)da4
由(5)式：
　　 U=(E／2)∫L0(b／12)［m3+3m2(n-m)x／L+3m(n-m)2x2／L2+(n-m)3x3／L3］
　　 *［(a2x2+a3x3+a4x4)″］2dx
dU=Eb(37.5a2+39a3+42a4)／240000da2+
　　 Eb(39a2+63a3+576a4／7)／240000da3+
　　 Eb(42a2+576a3/7+837a4／7)／240000da4
由(6)式：
-q0／5=Eb(37.5a2+39a3+42a4)／240000
-q0／6=Eb(39a2+63a3+576a4／7)／240000
　　 -q0／7=Eb(42a2+576a3／7+837a4／7)／240000
由上三式得：
a2=-1389q0／（Eb)
a3=-459q0／(Eb)
a4=524q0／(Eb)
代入撓度方程得：
y=(-1389x2-459x3+524x4)q0／(Eb)
此懸臂梁最大變形為：
fmax=｜y(1)｜=1324.486q0／Eb
3　結果
　　通過以上兩例的計算，證明任意載荷作用下變截面懸臂梁的最大正應力及最大變形可用本文所介紹的方法。此種方法解決了一般材料力學

中直接積分所帶來的麻煩。為工程實踐提供了一種便捷的方法。