前言 波克-許華爾茲......



前言
波克-許華爾茲定理是軸測投影的基本定理，無論對軸測投影理論，還是對軸測投影理論的應用，該定理都有重要的意義。
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波克-許華爾茲定理為(簡稱，波-許定理①)：
任何一個非蛻化的完全四點形，都可以看作是一個形狀已定的四面體的軸測投影。
所謂完全四點形是指由四個一般位置的點(頂點)及六條頂點連線所構成的圖形。四個頂點都不在同一直線上的四點形稱為非蛻化四點形。
葉玉駒等著的《高等畫法幾何學》中將波克-許華爾茲定理敘述為(簡稱波-許定理②)：
任何一個四面體都可以軸測投影為一個形狀已定的非蛻化四點形。
上述兩種說法的區別是，前一種是將四面體作相似變換，而后一種是將非蛻化四點形作相似變換，文獻［1］事實上證明的是后者，再根 據相似變換原理推論出前者。
從定性角度看，上述兩種說法并沒有本質的區別，但從定量角度看，上述兩種說法并不一致。事實上，波克-許華爾茲定理只涉及到定性的一面，沒有涉及定量這一方面。研究軸測投影基本定理定量問題即其計算理論是本文研究的問題。
軸測投影基本定理的計算理論將為計算機理解軸測投影圖提供最基本的理論依據。在機器人視覺、幾何造型、計算機動畫制作等方面有重要的應用價值。
1　本文研究的問題
本文研究的主要問題有兩個，一個為波-許定理①的計算理論，另一個為波-許定理②的計算理論。
幾何模型圖
波-許定理①的計算問題為：將四面體ABCD(上圖)作空間剛體運動變換和相似變換，使其到達位置A′B′C′D′，并使四面體A′B′C′D′在某投影方向下的軸測投影為完全四點形abcd。具體計算問題為：已知四面體ABCD和完全四點形abcd，求剛體運動參數和相似變換系數。
波-許定理②的計算問題為：將完全四點形abcd作空間剛體運動變換和相似變換，使其達到位置a′b′c′d′，并使四面體ABCD在某投影方向下的軸測投影為完全四點形a′b′c′d′。具體計算問題為：已知四面體ABCD和完全四點形abcd，求剛體運動參數和相似變換系數。
空間剛體運動一般可分解為旋轉運動和平移運動。對軸測投影來說，剛體平移運動參數并不能完全確定，附加其它約束后，平移運動參數比較容易獲得，為此本文重點研究剛體旋轉運動參數的計算問題。設剛體旋轉運動的變換矩陣為：若求出矩陣R，則可方便地求得各分解方式下的剛體旋轉運動參數。
基于上述考慮，不妨設
A(0，0，0)，B(X1，0，0)，C(X2，Y2，0)，D(X3，Y3，Z3)
a(0,0,0),b(x1,0,0),c(x2,y2,0),d(x3,y3,0)
且相似變換系數為K。
2　波-許定理計算理論和方法
2.1　波-許定理①
在這種情況下，完全四點形abcd不動，因此投影方向不能平行于abcd所在的平面，即平面Z=0，故可設投影方向為V(l,m,1)。
四面體ABCD在空間旋轉運動R和相似變換作用下到達位置A′B′C′D′。此時點B′，C′，D′應分別位于過點b,c,d且平行于投影方向V的

直線上，據此可得：
KX1r11-x1=KX1lr31
r21=mr31
K(X2r11+Y2r12)-x2=Kl(X2r31+Y2r32)
K(X2r21+Y2r22)-y2=Km(X2r31+Y2r32)
K(X3r11+Y3r12+Z3r13)-x3=Kl(X3r31+Y3r32+Z3r33)
K(X3r21+Y3r22+Z3r13)-y3=Km(X3r31+Y3r32+Z3r33)
整理上述式子可得：
K(r11-lr31)=a1　(3-1)
r21-mr31=0　(3-2)
K(r12-lr32)=a2　(3-3)
K(r22-mr32)=a3　(3-4)
K(r13-lr33)=a4　(3-5)
K(r23-mr33)=a5　(3-6)
其中

利用式(3-1)(3-3)(3-5)可得：
K(1+l2)=a12+a22+a42　(3-8)
利用式(3-2)(3-4)(3-6)可得：
K2(1+m2)=a32+a52　(3-9)
利用式(3-1～6)可得：
K2lm=a2a3+a4a5　(3-10)
從式(3-8～10)可求得：
(3-11)
其中
b1=a2a3+a4a5
b2=a12+a22+a42
b3=a32+a52 (3-12)
從而可求得：
(3-13)
求得相似變換系數K和投影方向V(l,m,1)后，利用式(3-1)(3-2)及r112+r212+r312=1即可求得旋轉矩陣R中的元素(r11,r21,r31),再利用(3-3～6)及即可求出旋轉矩陣R中的其它元素，從而可求出四面體A′B′C′D′的位置。
從上可以看出，相似變換系數K有兩解，其絕對值相等，符號相反。投影方向V(l,m,1)也有兩解，這兩解關于投影平面(即abcd所在的平面 )對稱，從而可以看出旋轉矩陣R將有八解。即四面體A′B′C′D′的位置將有八個位置。
基于上述分析和求解，從定性和定量兩方面考慮，波-許定理①應補充為：
任何一個非蛻化的完全四點形，都可以看作是一個形狀已定的四面體的投影。相似變換系數有兩解，其絕對值相等符號相反；投影方向也 有兩解，這兩解對稱于投影平面；變換后的四面體有八個位置。
2.2　波許定理②
設投影方向為V(l,m,n,)。
在這種情況下，完全四點形a′b′c′d′的六條也是四面體ABCD各棱邊的軸測投影。因此，應用兩個字母來表示兩條對角邊的交點(如對 角邊a′d′和b′c′的交點為e′(f′)，e′的對應點E屬于棱邊AD，f′的對應點F屬于BC，由于三點的簡比在軸測投影及空間剛體運動和相似變換下是不變的，故可以根據下列條件求得從e(f)求得四面體ABCD上棱邊AD和BC上相對應的點E和F。
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(aed)=a′e′d′)=(AED)
(bfc)=(b′f′c′)=(BFC)
設E(X4,Y4,Z4),F(X5,Y5,Z5),則投影方向V：
(4-1)
依據點b′,c′,d′,應分別位于過點B，C，D，且平行于投影方向V的直線上，可得
Klx1r31-Knx1r11+nX1=0
Kmx1r31-Knx1r21=0
Klx2y31+Knx2r11-Kny2r12+nX2=0
Kmx2r31+Kly2r32-Knx2r21-Kny2r22+nY2=0
Klx3r31+Kly3r32-Knx3r11-Kny3r12+nX3-lZ3=0
Kmx3r31+Kmy3r32-Knx3r21-Kny3r22+nY3-mZ3=0
經整理可得：
(4-2)
其中
a1=lx1　a2=mx1　a3=lx2　a4=mx2　a5=lx3
a6=mx3　a7=ly2　a8=my2　a9=ly3　a10=my3
b1=nx1　b2=nx2　b3=nx3　b4=ny2　b5=ny3
c1=nX1　c2=nX2　c3=nY2　c4=nX3-lZ3　c5=nY3-mZ3
在式(4-2)中，若將kr11,kr12,kr21,kr22,kr31,kr32看作未知數，則利用式(4-2)可唯一確定上述未知數值。利用旋轉矩陣R的正交性質，
則可得
從而可求得旋轉矩陣R中的元素(r11,r21,r31,r12,r22,r32)。再利用
可求得旋轉矩陣R中的其它三個元素。
從上可以看出，投影方向V(l,m,n)僅有一解，而相似變換系數K有兩解，其絕對值相等符號相反，從而旋轉矩陣R也有兩解，即完全四點形 a′b′c′d′有兩個位置。